تقارن ها توپولوژیک در مکانیک کوانتمی

ابرتقارن در نظریه میدان کوانتمی به عنوان تقارنی بین میدانهای بوزونی و میدانهای فرمبونی مطرح شد ‏‎[5]‎‏ و از آنجا که می توانست گامی به سوی یافتن وحدتی بین درجات آزادی درونی و بیرونی باشد، بسیار مورد توجه قرار گرفت. ابرتقارن در مکانیک کوانتمی نخست به عنوان مدل سازه شده ای از ابر تقارن در نظریه میدان مورد توجه قرار گرفت ‏‎[12]‎‏. اما به زودی جایگاه ویژه ای در مکانیک کوانتومی به دست آورد. اهمیت این نظریه، و هم به دلیل ارتباطی است که این نظریه با برخی مباحث ریاضی دارد مانند قضیه اندیس ‏‎[11,10]‎‏ و قضیه مورس ‏‎[54]‎‏ و هم به دلیل توانایی آن در حل مسائل، مانند حل دقیق معادله شرودینگر از طریق یافتن هامبلتونی های هم شکل برای پتانسیل های شکل ناوردا ‏‎[8]‎‏. این نظریه همچنین کاربردهای وسیعی در بسیاری از شاخه های فیزیک همچون فیزیک اتمی ‏‎[45]‎‏ ، فیزیک آماری ‏‎[47,46]‎‏ ، ابر رسانایی ‏‎[49, 48]‎‏ ، نیم رساناها ‏‎[51,50]‎‏ پیدا کرده است. به دلیل این کاربردهای گسترده و به دلیل اهمیت آن در درک بهتر پدیده های فیزیکی و مفاهیم ریاضی، تلاشهای بسیاری در جهت تعمیم دادن آن صورت گرفته است که به عنوان مثال به یافتن پاراابرتقارن ‏‎[20]‎‏ ، اورتوابرتقارن ‏‎[27]‎‏ و ابر تقارن کسری ‏‎[53,52,28]‎‏ منجر شده است. در این پایان نامه ما دسته ای از تقارن ها را در مکانیک کوانتمی به عنوان تعمیمهایی از ابر تقارن تعریف می کنیم و آنها را تقارن های توپولوژیک می نامیم. ساختار جبری حاکم بر سیستم های دارای این تقارن ها را به دست می آوریم. تقارن های توپولوژیک از آن جهت که شامل تعدادی ناوردای توپولوژیک هستند (همانند شاخص وینن در ابر تقارن ‏‎[16]‎‏ تعمیم ابرتقارن به حساب می آیند.هر تقارن توپولوژیک با یک عدد درست ‏‎‎‏1 <‏‎n‎‏ که خواص درجه بندی ‏‎(grading)‎‏ آن را مشخص می کند و یک ‏‎n‎‏ تایی از اعداد درست ‏‎(m1, m2, ...mn)‎‏ که ساختار واگنی آن را مشخص می کند تعریف می شود. ما ضمن به دست آوردن روابط جبری حاکم بر تقارن های توپولوژیک، تعبیر ریاضی ناورداهای توپولوژیک و محتوای آماری تقارن های توپولوژیک را نیز مورد بررسی قرار خواهیم داد.